Las epidemias se han documentado desde los principios de la historia humana. Una epidemia es una aparición repentina una enfermedad que infecta a una parte sustancial de la población en una región determinada antes de desaparecer. En el siglo XIX, las recurrentes oleadas de cólera mataron a millones de personas en la India. Los en la epidemia de influenza de en 1918 y 1919 mató al menos a 20 millones de personas en total, con más de medio millón en los Estados Unidos.

Desde esa época se conoce la efectividad de las medidas de cuarentena y aislamiento social para la prevención de brotes, que se presenta de forma natural en la población como respuesta a las muertes.

Diagrama de niveles y flujos o diagrama de Forrester del modelo SIR

El tiempo para el pico de la infección depende de las condiciones iniciales y de la fracción de la población susceptible. En el modelo SIR el pico de la epidemia se da cuando la proporción de la población susceptible es igual a 1/Ro. Suponiendo que el Ro sea 2,5, el pico se presentara cuando la población susceptible sea del 40% y si es de 3,5 se da cuando es del 28%.

En caso de no suprimir por más tiempo el brote de COVID-19 (como lo pretende el gobierno nacional), realizando un desmonte gradual de las políticas de control que llevarán a un aumento del número de contactos diarios por persona y a un Ro >1. La simulación del modelo SIR con un Ro de 1,6 y las condiciones iniciales del día 3 de mayo del 2020 en el Huila, muestra que para el día 100 se tendrán acumulados 56664 infectados (5,1%), 89914 recuperados ( 8,1%) y 961016 susceptibles (86,8%). Los infectados nuevos para ese día serán 8256, y los nuevos recuperados 5789. El pico del brote llegará cuando la población susceptible sea del 62,5%=1/Ro, es decir para el día 128.

Simulación del primer año de la pandemia en Colombia con un modelo SIR con Ro 1,6, población susceptible 1122622, infectados 133, recuperados 48, Tasa de letalidad de 0.01.

Simulación del modelo SIR con Ro 1,6, población susceptible 1122622 personas, Tasa de letalidad de 0.01. Condiciones iniciales según los datos reportados el día 62 (3 de mayo de 2020) de la epidemia en Colombia.

Una de las preguntas que primero atrajo la atención de los científicos en epidemias, fue el desarrollo repentino y posterior desaparición sin infectar a toda la comunidad. Uno de los primeros triunfos de la epidemiología matemática fue la formulación de un modelo que predice exactamente ese comportamiento. W. O. Kermack y A. G. McKendrick en 1927 formularon un modelo con una población dividida en tres compartimientos, uno con los individuos susceptibles (S), el otro con los infectados (I) y el otro los Recuperados (R).

En este modelo, los recuperados se determinan una vez que susceptibles e infectados son conocidos, es por eso que podemos rescribir el modelo en un sistema de dos ecuaciones diferenciales:

$$ S'=- \beta SI \\I' =( \beta S- \alpha )I $$

La población total N, esta representa por los S+I , β es la tasa de ataque y α la tasa de recuperación. El número básico de reproducción R0 define el número de infecciones secundarias causadas por un único individuo infeccioso en una población totalmente susceptible de tamaño K .

En esta situación, cada individuo infectado tiene βK contactos con personas susceptibles en unidad de tiempo, produciendo nuevas infecciones durante su período infeccioso medio que es 1/α; así, el número de reproducción básico es βK/α (Brauer, 2006).

Este modelo es útil para predecir la propagación de las infecciones por COVID-19 y evaluar la efectividad de intervenciones en salud pública como el aislamiento social, el lavado de manos, evitar grandes reuniones y áreas de aglomeración de personas. También permite.

install.packages("EpiModel")
library(rafalib)
library(EpiModel)
#Modelo SIR (Susceptibles, Infectados, Recuperados) para el Huila
#población de infectados 133, población de recuperado 48
#tasa de recuperación(gamma)= 1/10 días
#tasa de infección(beta) = tasa de ataque comunitario (0,0055)*contactos al dia (30)=0,165
#Número reproductivo báscio (Ro) = beta/gammam, Ro usados 1,6 y 2
#Probabilidad de contagio  0.01 (en hospital o sitios aglomeración de persona) 
#Probabilidad de contagio  0.0055 (en la comunidad ) 
#Tasa de contactos diarios en la comunidad 30 y 37 pesonas 
#tasa de letalidad 1% de los infectados
#fecha de corrida 4/05/2020 133 infectados, 48 recuperados, 
#Población total (N) = 1122622 personas,
install.packages("EpiModel")
library(rafalib) 
library(EpiModel)
param <- param.dcm(inf.prob = 0.0055, act.rate = 30,
                   rec.rate = 0.1,a.rate = 0, ds.rate = 0, di.rate = 0, dr.rate = 0.01)
init <- init.dcm(s.num = 1122622, i.num = 133, r.num = 48)
control <- control.dcm(type = "SIR", nsteps =365, dt = 1)
mod1 <- dcm(param, init, control)

mypar()
plot(mod1, popfrac = FALSE, alpha = 0.5,
     lwd = 2, main = "Simulación del  modelo SIR para el Huila con Ro=1,6, infectados=133, Recuperados=48", 
     xlabel="Tiempo en días a partir del 3 de mayo del 2020",
     ylabel = "Habitantes")
abline(v=69)
mypar(3,1)
plot(mod1,popfrac = FALSE, y = "si.flow", lwd = 2, 
     main = "Incidencia de infectados por COVID-19", alpha = 0.5,
     col="red",legend = "n", xlabel="Días", ylabel = "Personas")
abline(h=0)
abline(v=69)
plot(mod1,popfrac = FALSE, y = "i.num", lwd = 2,alpha = 0.5, 
     col = "blue", main = "Prevalencia de infectados por COVID-19", 
     legend = "n", xlabel="Días", ylabel = "Personas")
abline(h=0)
abline(v=77)
plot(mod1,popfrac = FALSE, y = "dr.flow", alpha = 0.5,lwd = 2,
     col = "black", main = "Incidencia de muertes por COVID-19",
     legend = "n", xlabel="Días", ylabel = "Personas")
abline(v=108)
abline(v=15)
summary(mod1,at=128)
summary(mod1,at=30)
mypar()
comp_plot(mod1, at = 128, digits = 1)
     

Hasta la epidemia de SARS del 2002-3, la mayor parte del trabajo en epidemiología matemática se concentraba en estudios de enfermedades específicas o en la interacción entre efectos epidemiológicos y demográficos. Había bastantes estudios de modelos epidémicos, concentrados en analizar el curso de una epidemia, pero pocos examinaban los efectos de las medidas de control.

Durante la epidemia de SARS, comenzó a implementarse el modelo original de Kermack-McKendrick, pero incluyendo medidas de control gubernamental y en salud pública para hacerlos más realistas.

La pandemia actual por SARS CoV2 difiere considerablemente de los modelos idealizados tipo SIR por varias razones como: